Pour en savoir plus...

Précédent : calcul de pi

Mathematica évalue pi par la formule de D.V. et G.V. CHUDNOVSKY qui donne 14 chiffres à chaque itération :

1/pi * 640320^3/2 / 6541681608 = [ (n + 13591409 / 545140134) * (6n)! / ((3n)! * (n!)³ )* (-1)ⁿ / 640320³ⁿ ]

Ramanujan

pw1.netcom.com/~hjsmith/Pi.html

These algorithms are documented in Scientific American, February 1988, Ramanujan and Pi,.

Algorithm a:

Let y[0] = SqRt(1/2), x[0] = 1/2

y[n] = (1 - SqRt(1 - y[n-1]^2)) / (1 + SqRt(1 - y[n-1]^2))

x[n] = ((1 + y[n])^2 * x[n-1]) - 2^n * y[n]

Algorithm b:

Let y[0] = SqRt(2) - 1, x[0] = 6 - 4 * SqRt(2)

y[n] = (1 - SqRt(SqRt(1 - y[n-1]^4))) / (1 + SqRt(SqRt(1 - y[n-1]^4)))

x[n] = ((1 + y[n])^4 * x[n-1]) - 2^(2n+1) * y[n] * (1 + y[n] + y[n]^2)

For both algorithms, x[n] converges to 1/Pi. Algorithm a is quadratically convergent and algorithm b is quartically convergent. Algorithm b converges to a given number of digits about twice as fast as algorithm a, but takes about twice as much work per iteration. Algorithm b is 10 to 20 percent faster than algorithm a. On an IBM AT 33 MHz 486 DX computer using Windows 3.1 with 16 M RAM and 22 M of virtual memory, it took 37.3 hours for algorithm a and 31.0 hours for algorithm b.

Curiosités

Votre date de naissance figure-t elle dans les décimales de ? Oui, à condition d'aller la chercher assez loin dans la suite des décimales :
www.facade.com/legacy/amiinpi

Le nombre premier suivant correspond aux 38 premiers chiffres de Pi (info) :
31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841

33 millions de décimales :
Comme son nom de domaine l'indique : 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.jp ! ( 96Mo, soit 2h20 de téléchargement (10Ko/s), mais 33 555 582 décimales de pi, soit 671 111 lignes de texte, plus de 10 000 pages à imprimer... )
Version texte zippée 15Mo sur demande

Enfin, à titre de contre exemple un site intitulé "De la programmation imbitable" (qui était à l'adresse www-inf.enst.fr/~cottin/bizarre/bizarre.html),
proposait, entre autres horreurs, ce programme C de calcul des 2400 premières décimales de pi :

int a=10000, b, c=8400, d, e, f[8401], g; 
main () { for (;b-c;) f[b++]=a/5; for (;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),
e=d%a) for (b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g, d/=g--,--b;d*=b);}

mais aussi cet autre programme C : 

Sites

Parmi les nombreux sites consacrés à pi sur le web :

Wikipedia fr.wikipedia.org/wiki/Pi

Pour se tenir au courant de l'actualité de pi, le point de départ de toute recherche thématique sur le web, Yahoo ! www.yahoo.com/Science/Mathematics/Numerical_Analysis/Numbers/Specific_Numbers/Pi/

L'univers de Pi   www.pi314.net

The pi pages   oldweb.cecm.sfu.ca/pi

Le nombre PI, décimales et algorithmes   www-info.enst-bretagne.fr/~brouty/Maths/pi.html

Voici quelques relations, séries, intégrales définies, et fractions continues qui convergent vers Pi  jc.michel.free.fr/pi.php

Pi formulas, de nopmbreuses formules mathématiques pour calculer pi  mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

HAKMEM. MIT équations de calcul de pi   www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/pi.html

Un programme pour calculer 33 millions de décimales sur PC   www.geocities.com/hjsmithh/Pi/Super_Pi.html

200 millions de décimales à télécharger : ftp://pi.super-computing.org/../.1/pi200m/

Les articles de "Pour la Science" (à la bibliothèque de l'Ecole) :

RAMANUJAN et pi, Avril 1988, par J. BORWEIN et P. BORWEIN
la découverte de l'arithmétique modale

Comment calculer isolément une quelconque des décimales
Les algorithmes compte-gouttes, septembre 1995, par Ian STEWART
Obsession de pi, janvier 1997, par Jean-Paul DELAHAYE

L'accélération de la convergence, mai 1994, par J.-P. DELAHAYE
comment accélérer le calcul des décimales de pi.
L'article comporte un curieux programme en C de 158 caractères qui calcule 2 400 décimales de pi.

Livres

Un superbe ouvrage doit être mentionné :
Le fascinant nombre , par Jean-Paul DELAHAYE,
Editions Pour la Science, diffusion Belin, janvier 1998, 224 pages
On y trouvera des détails sur les algorithmes de calcul de pi utilisés pour les derniers records.

Carl SAGAN dans son roman "Contact" a imaginé qu'un message codé figure dans les décimales de pi, laissé là par l'intelligence qui a créé l'univers !
Pour vérifier, un site permet de rechercher tout message dans les 51 milliards de décimales connues : members.aol.com/spoons1000/pi/index.html
Voici un exemple de message qui aurait été trouvé :

Document : http://www.mines.u-nancy.fr/~tisseran/cours/pi/pi_plus.html
juin 1998 - Dernière mise à jour : mars 2007

Remarques, suggestions, questions, ... : e-mail tisseran@mines.u-nancy.fr